Filtration relative, l’idéal de Bernstein et ses pentes

Let $f\_i\colon X \rightarrow \mathbf{C}$ , for $i$ integer between $1$ and $p$ be analytic functions defined on a complex variety $X$. us consider $\mathcal{D}\_X$ the ring of linear differential operators $\mathcal{D}\_X \[s\_1, \ldots, s\_p] = \mathbf{C}X \otimes{\mathbf{C}} \mathcal{D}\_X$. $m$ section holonomic -module. We denote $\mathcal{B}(m, x\_0, f\_1, f\_p)$ ideal $\mathbf{C} s\_p]$ constituted by polynomials $b$ satisfying in neighborhood $x\_0 \in X$: $$ b (s\_1, s\_p) m f\_1^{ s\_1} \ldots f\_p ^{s\_p} \mathcal{D}\_X {} f\_1^{s\_1 + 1} f\_p^{s\_p . This is called Bernstein’s ideal. C. Sabbah showed existence every X$ finite set $\mathcal{H}$ forms with coefficients $\mathbf{N}$ such that \prod\_{H \mathcal{H}}\ \ \prod\_{{i I\_\mathcal{H}}} (H \alpha\_{H i}) \mathcal{B} (m, f\_p) where $\alpha\_{H,i}$ are numbers. The purpose this article to show particular minimal In addition, when regular $\mathcal{D}\_X$-module, we will precise geometrically from characteristic $\mathcal{D}\_X$-module generated $m$. introduce study especially relative $\mathcal{D} \_X -modules related our problem. allows specify structure ideals. $\mathbf{Résumé}$ Soit $f\_i \colon {\mathbf C}$, pour entier compris entre et $p$, des fonctions analytiques définies sur une variété analytique complexe Considérons ${\cal D}\_X$l’anneau opérateurs différentiels D}\_X\[s\_1, ,s\_p]= C}X\[s\_1, ,s\_p] \otimes{\mathbf C} {\cal D}\_X$. d’un D}\_X$-module holonome, notons B}(m,x\_0, ,f\_p)$ l’idéal de ${\mathbf C}\[s\_1, ,s\_p]$ polynômes vérifiant au voisinage $x\_0$: ,s\_p) f\_1^{s\_1} f\_p^{s\_p} ,s\_p], f\_1^{s\_1+1} f\_p^{s\_p+1} ; montre l’existence tout ensemble fini H}$ formes linéaires à premiers eux dans N}$ telles que \prod\_{H\in H} } \prod\_{i\in I\_{\cal (H(s\_1, \alpha \_{H,i}) ,f\_p) où $\alpha \_{H,i}$ sont nombres complexes. L’objet cet est notamment montrer minimal. De plus, lorsque module holome régulier, nous expliciterons géométriquement partir la caractéristique du système différentiel engendré par Nous étudions en particulier les variétés caractéristiques relatives ,s\_p]$-modules liés notre problème, ce qui permet préciser idéaux Bernstein.